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Worldbuilding

能力函数理论

角色能力的数学抽象，涵盖能力函数定义、符咒与向量微分符咒。

能力函数是二次元世界中角色能力的数学抽象，是理解和设计角色能力的基础。

能力函数的定义

在二次元世界的数学模型中，角色的特殊能力可以被抽象为一种映射关系，我们称之为能力函数（Ability Function）。此函数严格描述了能力如何将输入（作用目标或条件）转化为输出（作用效果）。

能力函数的定义

设 X\mathcal{X} 为能力的输入空间（Input Space），包含了所有可能的能力作用目标、初始条件或触发状态。设 Y\mathcal{Y} 为能力的输出空间（Output Space），包含了所有可能的能力作用效果。

一个能力函数是一个映射： F:X→YF: \mathcal{X} \to \mathcal{Y} 它将每个输入 x∈Xx \in \mathcal{X} 映射到唯一的输出 y=F(x)∈Yy = F(x) \in \mathcal{Y}。

此时称：

  • xx 为能力的输入或原像。
  • y=F(x)y = F(x) 为能力在输入 xx 下的输出或像。
  • 映射 FF 的具体形式，体现了角色能力的使用规则与使用效果。

能力函数具有以下重要特征：

  1. 输入与输出空间的广泛性：输入空间 X\mathcal{X} 和输出空间 Y\mathcal{Y} 不限于传统的数集，可以是角色、物体等实体对象的集合，HP、MP、状态等属性值的集合，空间坐标、时间区间等连续范畴，或向量、矩阵等抽象数学结构。
  2. 世界观的约束：同一世界观下的所有能力函数必须遵守该世界设定的基本规律。
  3. 确定性：对于确定的输入 xx，能力函数必须产生确定的输出 F(x)F(x)。

能力函数的两种类型

根据输入 xx 的数学性质及其被处理的方式，能力函数在实践中表现为两种基本类型：离散型能力函数和连续型能力函数。

离散型能力函数

当能力函数的输入是离散的、可数的对象时，其作用模式是离散的。

离散型能力函数的定义

若能力函数 FF 的输入空间 X\mathcal{X} 是一个离散集合（有限或可数无限），则称 FF 为离散型能力函数。其效果通过直接将函数作用于每个输入元素来实现： Y=F(X)={F(x)∣x∈X}\mathcal{Y} = F(\mathcal{X}) = \{F(x) \mid x \in \mathcal{X}\} 若本次能力发动仅针对输入集合 X={x1,x2,…,xn}⊆XX = \{x_1, x_2, \ldots, x_n\} \subseteq \mathcal{X}，则对应的输出集合 Y={y1,y2,…,yn}\mathcal{Y} = \{y_1, y_2, \ldots, y_n\} 为： ∀xi∈X,yi=F(xi)\forall x_i \in X, \quad y_i = F(x_i)

示例：单体治愈术

角色A的治愈术以单一角色为目标，恢复其50点HP。能力函数为： Fheal(HP)=HP+50F_{\text{heal}}(\text{HP}) = \text{HP} + 50

连续型能力函数

当能力函数的输入是一个连续空间的元素，且其效果需要通过”累积”来计算时，其作用模式是连续的。

连续型能力函数的定义

若能力函数 FF 的输入空间是一个连续域 Ω\Omega，并且总效果由定义在 Ω\Omega 上的效果密度函数 f(ω)f(\omega) 积分得到，则称 FF 为连续型能力函数。其总效果为： Y=F(Ω)=∫Ωf(ω) dω\mathcal{Y} = F(\Omega) = \int_{\Omega} f(\omega) \, \mathrm{d}\omega 其中 ω\omega 是域 Ω\Omega 上的微元，f:Ω→Rf: \Omega \to \mathbb{R} 是密度函数，它本身可以看作一个局部的、点上的能力函数。

从形式上看，连续型能力函数与离散型能力函数的表达式并无区别，都是 Y=F(X)\mathcal{Y}=F(\mathcal{X})。但其计算方式和应用场景有本质区别：离散型能力函数可以直接对每个离散输入进行函数求值，适用于单体或有限目标的能力作用；连续型能力函数虽然表达式相同，但无法直接进行求值，而是通过积分对连续域内的效果密度进行累积，适用于范围性、区域性或时间段性的能力作用。

示例：范围火球术

角色B释放火球术，对圆形区域 Ω={r⃗∈R2:∥r⃗∥≤R}\Omega = \{\vec{r} \in \mathbb{R}^2 : \|\vec{r}\| \leq R\} 造成伤害。伤害密度在中心最高，向外衰减，定义为 f(r⃗)=100e−∥r⃗∥2f(\vec{r}) = 100 e^{-\|\vec{r}\|^2}。经极坐标变换求解得： Ffireball(Ω)=100π(1−e−R2)F_{\text{fireball}}(\Omega) = 100\pi (1 - \mathrm{e}^{-R^2})

该能力对区域内位于点 r⃗p\vec{r}_p 的单个目标造成的伤害，是密度函数在该点的取值 f(r⃗p)=100e−∥r⃗p∥2f(\vec{r}_p) = 100 \mathrm{e}^{-\|\vec{r}_p\|^2}，体现了连续型能力函数与离散型能力函数在计算上的关联与区别。

符咒

符咒（Spell） 是世界观中一种特殊的能力函数算子，它通过改变能力函数本身的映射规则来创造新的能力。

符咒的定义

设 F\mathscr{F} 为某世界观下所有能力函数构成的集合。一个符咒 O\mathcal{O} 是一个从能力函数集到其自身的映射： O:F→F\mathcal{O}: \mathscr{F} \to \mathscr{F} 它将一个能力函数 F∈FF \in \mathscr{F} 映射为另一个新的能力函数 OF∈F\mathcal{O}F \in \mathscr{F}。

对于任意作用对象 x∈XFx \in \mathcal{X}_F，新能力函数的效果由下式确定： (OF)(x)(\mathcal{O}F)(x) 符咒 O\mathcal{O} 改变了能力的作用规则，而不仅仅是其输出值。

符咒与简单函数复合的关键区别在于：符咒操作的是函数本身这一映射规则，而非具体的输入输出值。常见的符咒类型包括：

  • 线性强化符咒 Ek\mathcal{E}_k：重新定义能力函数的输出为原输出的 kk 倍。 (EkF)(x)=k⋅F(x)(\mathcal{E}_k F)(x) = k \cdot F(x)

  • 指数衰减符咒 Dλ\mathcal{D}_{\lambda}：使能力函数效果随空间或时间坐标指数衰减。 (DλF)(r)=F(r)⋅e−λ∥r∥(\mathcal{D}_{\lambda} F)(\mathbf{r}) = F(\mathbf{r}) \cdot \mathrm{e}^{-\lambda \|\mathbf{r}\|}

  • 作用域限制符咒 RS\mathcal{R}_S：将能力函数的有效作用域限制在区域 SS 内。 (RSF)(x)={F(x)若 x∈S0若 x∉S(\mathcal{R}_S F)(x) = \begin{cases} F(x) & \text{若 } x \in S \\ 0 & \text{若 } x \notin S \end{cases}

符咒的复合运算 O2O1\mathcal{O}_2 \mathcal{O}_1 定义为： (O2O1)F=O2(O1F)(\mathcal{O}_2 \mathcal{O}_1)F = \mathcal{O}_2(\mathcal{O}_1 F) 符咒的复合通常不满足交换律，即 O2O1≠O1O2\mathcal{O}_2 \mathcal{O}_1 \neq \mathcal{O}_1 \mathcal{O}_2。

向量微分符咒

向量微分符咒（Nabla Spell） 是世界观中最为强大的空间变化符咒之一，一般写作 ∇\nabla。该符咒可以同时操控空间中的多种变化率，根据不同的组合方式实现高斯公式、格林公式等强大效果。

向量微分符咒的概念

向量微分符咒的定义

在三维空间中，向量微分符咒 ∇\nabla 定义为： ∇=(∂∂x,∂∂y,∂∂z)\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}\right) 该符咒可以作用于标量能力函数 φ\varphi 或向量能力函数 F=(Fx,Fy,Fz)\mathbf{F}=(F_x,F_y,F_z)，产生不同效果：

  • 梯度符咒：∇φ=(∂φ∂x,∂φ∂y,∂φ∂z)\nabla\varphi = \left(\frac{\partial\varphi}{\partial x}, \frac{\partial\varphi}{\partial y}, \frac{\partial\varphi}{\partial z}\right)
  • 散度符咒：∇⋅F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}
  • 旋度符咒：∇×F=(∂Fz∂y−∂Fy∂z,∂Fx∂z−∂Fz∂x,∂Fy∂x−∂Fx∂y)\nabla\times\mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}, \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}, \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right)

而在二维平面上，∇\nabla 符咒可以类似地定义为： ∇2D=(∂∂x,∂∂y),∇2D×F=∂Fy∂x−∂Fx∂y\nabla_{\text{2D}} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}\right),\quad \nabla_{\text{2D}}\times \bm{F}=\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}

当一个连续性能力函数作用的时候，会形成一个场。这个场又称作能力场（Ability Field）。

向量微分符咒的应用

向量微分符咒的主要效果就是作用域的升维。

高斯符咒公式

当 ∇\nabla 符咒与闭合曲面积分组合时，可实现作用域从曲面域到空间域的变化： ∯∂VF⋅dS=∭V(∇⋅F) dV\oiint_{\partial V} \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\iiint_V (\nabla\cdot\mathbf{F}) \,\mathrm{d}V

格林符咒公式

在二维平面上，∇2D\nabla_{\text{2D}} 符咒与闭合曲线积分组合： ∮C(L dx+M dy)=∬D(∂M∂x−∂L∂y)dx dy\oint_C (L\,\mathrm{d}x + M\,\mathrm{d}y) = \iint_D \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y

斯托克斯符咒公式

对于空间曲线，∇\nabla 符咒与闭合曲线积分组合： ∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS\oint_C \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \iint_S (\nabla\times\mathbf{F})\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

这些公式展示了向量微分符咒如何借助闭合积分实现作用域的升维——从曲线到曲面，从曲面到体积。