OC 变换理论

连续时间 OC 变换由多输入多输出连续 LTI 系统实现，输入——输出关系用卷积积分给出： $\mathbf{q}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}\mathbf{H}(\tau)\mathbf{r}(t-\tau)\,\mathrm{d}\tau = \mathbf{H}(t)*\mathbf{r}(t)$

其中 $\mathbf{H}(\tau) \in \mathbb{R}^{M\times N}$ 称为系统的连续OC冲激响应矩阵： $\mathbf{H}(\tau) = \begin{bmatrix} h_{11}(\tau) & h_{12}(\tau) & \cdots & h_{1N}(\tau) \\ h_{21}(\tau) & h_{22}(\tau) & \cdots & h_{2N}(\tau) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{M1}(\tau) & h_{M2}(\tau) & \cdots & h_{MN}(\tau) \end{bmatrix}$

$s$ 对 $\mathbf{r}(t)$、$\mathbf{q}(t)$ 及 $\mathbf{H}(\tau)$ 的每个元素分别施行拉普拉斯变换，记 $\tilde{\mathbf{R}}(s)=\mathcal{L}\{\mathbf{r}(t)\}$，$\tilde{\mathbf{Q}}(s)=\mathcal{L}\{\mathbf{q}(t)\}$，$\tilde{\mathbf{H}}(s)=\mathcal{L}\{\mathbf{H}(\tau)\}$。则在 $s$ 域有： $\tilde{\mathbf{Q}}(s)=\tilde{\mathbf{H}}(s)\tilde{\mathbf{R}}(s)$ 其中 $\tilde{\mathbf{H}}(s)$ 称为系统的连续OC传递函数矩阵（Continuous OC Transfer-Function Matrix）。

在 OC 变换公理体系中，给定一个人的 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{H}(t)$，该人存在 OC 的充分必要条件是以下条件同时成立：

1. 现实特征向量函数的适应性：$\mathbf{r}(t)$ 是因果的，允许拉普拉斯变换且与系统作用后不引发发散。
   • $\mathbf{r}(t)=0$ 当 $t<0$。等价的 $s$ 域表述为：$\tilde{\mathbf{R}}(s)$ 的收敛域包含某个右半平面 $\operatorname{Re}(s)>\sigma_r$。
   • $\tilde{\mathbf{R}}(s)$ 的收敛域包含虚轴。这是保证现实人设不崩坏的必要条件。
2. OC变换系统的正则性：$\mathbf{H}(t)$ 是因果且稳定的。
   • 因果性：$\mathbf{H}(t) = 0$ 对所有 $t < 0$ 成立。
   • 稳定性：$\mathbf{H}(t)$ 的每个元素 $h_{ij}(t)$ 绝对可积：$\int_0^\infty |h_{ij}(\tau)| \, \mathrm{d}\tau < \infty$。
   • $s$ 域必要表述：$\tilde{\mathbf{H}}(s)$ 的收敛域包含某个右半平面 $\operatorname{Re}(s)>\sigma_{\mathbf{H}}$ 且包含虚轴。

对于一个由因果、稳定传递函数矩阵 $\tilde{\mathbf{H}}(s) \in \mathbb{C}^{M \times N}$ 描述的连续时间 OC 变换系统，如果存在一个同样因果、稳定的 LTI 系统 $\tilde{\mathbf{G}}(s) \in \mathbb{C}^{N \times M}$，使得在收敛域内满足 $\tilde{\mathbf{G}}(s) \tilde{\mathbf{H}}(s) = \mathbf{I}_N$，则称原 OC 变换系统是可逆的，并称 $\tilde{\mathbf{G}}(s)$ 为其逆系统。

对于一个可逆的连续时间 OC 变换系统，其反变换定义为由逆系统 $\tilde{\mathbf{G}}(s)$ 实现的变换过程。在时域中，该反变换由如下卷积积分给出： $\mathbf{r}(t) = \int_{0}^{\infty} \mathbf{G}(\tau) \mathbf{q}(t-\tau) \, \mathrm{d}\tau$ 其中 $\mathbf{G}(\tau) = \mathcal{L}^{-1}\{\tilde{\mathbf{G}}(s)\}$ 是逆系统的连续 OC 冲激响应矩阵。此过程可以从 OC 特征 $\mathbf{q}(t)$ 中唯一地恢复出现实描述 $\mathbf{r}(t)$。

在 OC 变换公理体系中，一个由有理矩阵 $\tilde{\mathbf{H}}(s)\in\mathbb{C}^{M \times N}$ 描述的连续时间 OC 变换，其因果、稳定的左逆系统 $\tilde{\mathbf{G}}(s)\in\mathbb{C}^{N \times M}$ 存在，当且仅当以下条件同时成立：

1. 正向系统属性：原系统 $\tilde{\mathbf{H}}(s)$ 本身是因果且稳定的。
2. 维度条件：现实特征的维度 $N$ 不超过 OC 特征的维度 $M$，即 $N \leq M$。
3. 列满秩条件：原系统 $\tilde{\mathbf{H}}(s)$ 在闭右半平面列满秩，即 $\operatorname{rank}(\tilde{\mathbf{H}}(s)) = N,\quad \forall s\in\mathbb{C}\ \text{且}\ \operatorname{Re}(s)\geq 0$。
4. 稳定左逆条件：存在一个有理矩阵 $\tilde{\mathbf{G}}(s)$ 满足 $\tilde{\mathbf{G}}(s)\tilde{\mathbf{H}}(s)=\mathbf{I}_N$，且 $\tilde{\mathbf{G}}(s)$ 的所有极点严格位于左半平面。

当满足反变换存在性判据时，逆系统可按如下方式构造，并按极点条件判断其是否属于稳定 OC 变换系统：

1. 当 $M = N$ 时：形式逆系统由矩阵求逆直接得到：$\tilde{\mathbf{G}}(s) = \tilde{\mathbf{H}}(s)^{-1}$。
2. 当 $M > N$ 时：一个常用的形式左逆由 Moore-Penrose 伪逆给出：$\tilde{\mathbf{G}}(s)=\tilde{\mathbf{H}}^{\sharp}(s) = \left( \tilde{\mathbf{H}}(s)^\dagger \tilde{\mathbf{H}}(s) \right)^{-1} \tilde{\mathbf{H}}(s)^\dagger$，其中 $^\dagger$ 表示共轭转置。

离散时间 OC 变换仍为多输入多输出 LTI 系统，其输入——输出关系由卷积和给出： $\mathbf{q}[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\mathbf{H}[k]\mathbf{r}[n-k]=\mathbf{H}[n]*\mathbf{r}[n]$

其中离散 OC 冲激响应矩阵为： $\mathbf{H}[k] = \begin{bmatrix} h_{11}[k] & h_{12}[k] & \cdots & h_{1N}[k] \\ h_{21}[k] & h_{22}[k] & \cdots & h_{2N}[k] \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{M1}[k] & h_{M2}[k] & \cdots & h_{MN}[k] \end{bmatrix}$

在 OC 变换公理体系中，给定一个人的 $\mathbf{r}[n]$ 和 $\mathbf{H}[n]$，该人存在 OC 的充分必要条件是以下条件同时成立：

1. 现实特征向量序列的适应性：$\mathbf{r}[n]$ 是因果的，允许 $Z$ 变换且与系统作用后不引发发散。
   • $\mathbf{r}[n]=0$ 当 $n<0$。等价的 $z$ 域表述为：$\tilde{\mathbf{R}}(z)$ 的收敛域包含某个圆外区域 $|z|>R_r$ 并包含 $z=\infty$。
   • $\tilde{\mathbf{R}}(z)$ 的收敛域包含单位圆。这是保证现实人设不崩坏的必要条件。
2. OC变换系统的正则性：$\mathbf{H}[n]$ 是因果且稳定的。
   • 因果性：$\mathbf{H}[n] = 0$ 对所有 $n < 0$ 成立。
   • 稳定性：$\mathbf{H}[n]$ 的每个元素 $h_{ij}[n]$ 绝对可和：$\sum_{n=0}^\infty |h_{ij}[n]| < \infty$。
   • $z$ 域等价表述：$\tilde{\mathbf{H}}(z)$ 的收敛域为某个圆外区域 $|z| > R_{\text{max}}$，且包含单位圆 $|z| = 1$ 和无穷大 $z=\infty$。

对于一个由因果、稳定传递函数矩阵 $\tilde{\mathbf{H}}(z) \in \mathbb{C}^{M \times N}$ 描述的离散时间 OC 变换系统，如果存在一个同样因果、稳定的 LTI 系统 $\tilde{\mathbf{G}}(z) \in \mathbb{C}^{N \times M}$，使得在收敛域内满足 $\tilde{\mathbf{G}}(z) \tilde{\mathbf{H}}(z) = \mathbf{I}_N$，则称原 OC 变换系统是可逆的，并称 $\tilde{\mathbf{G}}(z)$ 为其逆系统。

对于一个可逆的离散时间 OC 变换系统，其反变换定义为由逆系统 $\tilde{\mathbf{G}}(z)$ 实现的变换过程。在时域中，该反变换由如下卷积和给出： $\mathbf{r}[n] = \sum_{k=0}^{\infty} \mathbf{G}[k] \mathbf{q}[n-k]$ 其中 $\mathbf{G}[k] = \mathcal{Z}^{-1}\{\tilde{\mathbf{G}}(z)\}$ 是逆系统的离散 OC 冲激响应矩阵。此过程可以从 OC 特征 $\mathbf{q}[n]$ 中唯一地恢复出现实描述 $\mathbf{r}[n]$。

在 OC 变换公理体系中，一个由有理矩阵 $\tilde{\mathbf{H}}(z)\in\mathbb{C}^{M \times N}$ 描述的离散时间 OC 变换，其因果、稳定的左逆系统 $\tilde{\mathbf{G}}(z)\in\mathbb{C}^{N \times M}$ 存在，当且仅当以下条件同时成立：

1. 正向系统属性：原系统 $\tilde{\mathbf{H}}(z)$ 本身是因果且稳定的。
2. 维度条件：现实特征的维度 $N$ 不超过 OC 特征的维度 $M$，即 $N \leq M$。
3. 满秩条件：原系统 $\tilde{\mathbf{H}}(z)$ 列满秩，即 $\operatorname{rank}(\tilde{\mathbf{H}}(z)) = N,\quad \forall z\in\mathbb{C}\ \text{且}\ |z|\geq 1$。
4. 稳定左逆条件：存在一个有理矩阵 $\tilde{\mathbf{G}}(z)$ 满足 $\tilde{\mathbf{G}}(z)\tilde{\mathbf{H}}(z)=\mathbf{I}_N$，且 $\tilde{\mathbf{G}}(z)$ 的所有极点严格位于单位圆内。

当满足离散时间反变换存在性判据时，逆系统可按如下方式构造：

1. 当 $M = N$ 时：形式逆系统由矩阵求逆直接得到：$\tilde{\mathbf{G}}(z) = \tilde{\mathbf{H}}(z)^{-1}$。
2. 当 $M > N$ 时：一个常用的形式左逆由 Moore-Penrose 伪逆给出：$\tilde{\mathbf{G}}(z)=\tilde{\mathbf{H}}^{\sharp}(z) = \left( \tilde{\mathbf{H}}(z)^\dagger \tilde{\mathbf{H}}(z) \right)^{-1} \tilde{\mathbf{H}}(z)^\dagger$。

对连续时间现实特征向量函数 $\mathbf{r}(t)$ 以采样间隔 $T_s$ 进行均匀采样，得到离散序列 $\mathbf{r}[n] = \mathbf{r}(nT_s), \quad n \in \mathbb{Z}$。相应的，连续 OC 冲激响应矩阵 $\mathbf{H}(t)$ 也被离散化为 $\mathbf{H}[n] = \mathbf{H}(nT_s), \quad n \in \mathbb{Z}$。

要从离散 OC 序列 $\mathbf{q}[n]$ 中无失真地恢复连续 OC 特征 $\mathbf{q}(t)$，必须同时满足以下三个条件：

1. 现实描述带宽限制：$\mathbf{r}(t)$ 是带限的，即存在 $\omega_r^{\text{max}}$ 使得 $\tilde{\mathbf{R}}(\mathrm{j}\omega) = \mathbf{0}, \quad \forall |\omega| > \omega_r^{\text{max}}$。
2. 系统带宽限制：OC 冲激响应矩阵 $\mathbf{H}(t)$ 对应的传递函数矩阵是带限的。
3. 采样率要求：采样频率 $\omega_s = 2\pi/T_s$ 满足 $\omega_s > 2 \cdot \min(\omega_r^{\text{max}}, \omega_h^{\text{max}})$。

当满足无失真采样条件，并且已知双边采样序列时，OC 特征向量函数可以从离散的 OC 特征向量序列完美重构： $\mathbf{q}(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \mathbf{q}[n] \cdot \text{sinc}\left(\dfrac{t - nT_s}{T_s}\right)$ 其中 $\text{sinc}(x) = \dfrac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ 是理想插值函数。

如果采样过程满足香农条件，重构采用理想 sinc 插值，并且连续系统到离散系统的实现符合前述理想化采样模型，那么离散 OC 变换系统与连续 OC 变换系统在信息意义上是等价的：$\mathbf{q}(t) \xrightarrow{\text{采样}} \mathbf{q}[n] \xrightarrow{\text{重构}} \mathbf{q}(t)$，即采样和重构过程是信息无损的。

设序列 $\tilde{x}[n]$ 和 $\tilde{h}[n]$ 的长度均为 $N_f$，其循环卷积 $\tilde{y}[n]$ 定义为： $\tilde{y}[n] = \sum_{m=0}^{N_f-1} \tilde{h}[m] \tilde{x}[(n-m) \mod N_f]$ 令 $\tilde{X}[k]$、$\tilde{H}[k]$、$\tilde{Y}[k]$ 分别为三者的 DFT，则有 $\tilde{Y}[k] = \tilde{H}[k] \cdot \tilde{X}[k]$。即时域的循环卷积对应于频域的乘积。

设 $h_{ij}[n]$ 和 $r_j[n]$ 均为长度 $L$ 的因果序列（补零至 $N_f=2L$）。利用 FFT 计算线性卷积的复杂度为 $O(N_f \log N_f) = O(L \log L)$。相比之下，直接时域卷积的复杂度为 $O(L^2)$。