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Worldbuilding

世界理论

世界的形式定义、层级结构、神与无全域神定理。

本节用离散数学与抽象代数语言，给出”世界”的形式定义，并讨论其性质与层级结构。随后，基于此定义，分析”神”与”无全域神定理”等哲学命题在该世界观下的数学表达。

世界与世界的性质

在世界观中，一个”世界（World）“是一个包含个体与命题的数学结构。个体是”存在的东西”，命题是”关于这些东西的陈述”。每个命题在某个世界中要么为真，要么为假。

世界的定义

一个世界 ww 是三元组 w=(Dw,Φw,⊨w)w=(D_w,\Phi_w,\models_w) 其中

  1. Dw≠∅D_w\neq\varnothing 是个体集合（Domain），称为世界的域；
  2. Φw\Phi_w 是世界的命题集合，满足对任意 φ∈Φw\varphi\in\Phi_w，其否定 ¬φ∈Φw\neg\varphi\in\Phi_w；且排中律成立：φ≢¬φ\varphi\not\equiv\neg\varphi；
  3. ⊨w:Φw→{true,false}\models_w : \Phi_w \to \{\text{true}, \text{false}\} 是真值指派函数，满足对任意 φ∈Φw\varphi\in\Phi_w，⊨w(φ)\models_w(\varphi) 仅取值 true 或 false；且 ⊨w(¬φ)\models_w(\neg\varphi) 与 ⊨w(φ)\models_w(\varphi) 互为否定。

这样的定义更像是在世界观下给出的一种理想化的”数学世界”模型。它适用于分析逻辑与集合论等基础数学问题，但在处理更复杂的哲学或语义问题时，可能需要更丰富的结构。

最小世界

令 Dw={a}D_w=\{a\}，Φw={p,¬p}\Phi_w=\{p,\neg p\}，定义真值指派 ⊨w(p)=true\models_w(p)=\text{true}，则 ⊨w(¬p)=false\models_w(\neg p)=\text{false}。此时 ww 是一个合法世界。

世界类的定义

令 W={w∣w 是满足定义的世界}\mathcal{W}=\{w\mid w\text{ 是满足定义的世界}\}。若不限制世界中可使用的个体与命题来源，则在 ZFC 下，W\mathcal{W} 应理解为真类（Proper Class），即不属于任何集合。这样的 W\mathcal{W} 包含所有可能的世界，称作世界类（World Class）。

为了在后文中使用普通图论、偏序集与函数等集合论工具，我们固定一个足够大的工作世界域（Working World Universe） W0⊆W\mathcal{W}_0\subseteq\mathcal{W}，并要求 W0\mathcal{W}_0 是集合。后文若无特别说明，所有世界图、层级关系、神的掌控范围等对象均在该固定集合 W0\mathcal{W}_0 内讨论。

有限世界集合的基数上界定理

若固定一个含 NN 个候选个体的集合与一个含 MM 个候选命题的集合，并只考虑由它们生成的世界，则 WN,M={w∈W0∣∣Dw∣≤N, ∣Φw∣≤M}\mathcal{W}_{N,M}=\{w\in\mathcal{W}_0\mid |D_w|\leq N,\,|\Phi_w|\leq M\} 是有限集，其基数的一个上界为： ∣WN,M∣≤∑d=1N∑p=0M(Nd)⋅(Mp)⋅2p|\mathcal{W}_{N,M}| \leq \sum_{d=1}^{N} \sum_{p=0}^{M} \binom{N}{d} \cdot \binom{M}{p} \cdot 2^{p} 其中 (Mp)\binom{M}{p} 表示从 MM 个命题中选择 pp 个命题的组合数。

证明：对于每个可能的个体数 dd（从 1 到 NN），以及每个可能的命题数 pp（从 0 到 MM），个体集合 DwD_w 的选择有 (Nd)\binom{N}{d} 种方式；命题集合 Φw\Phi_w 的选择有 (Mp)\binom{M}{p} 种方式；真值指派函数 ⊨w\models_w 对于每个命题有 2 种选择（真或假），因此对于 pp 个命题，有 2p2^p 种不同的指派方式。因此，对于固定的 dd 和 pp，可能的世界数为 (Nd)⋅(Mp)⋅2p\binom{N}{d} \cdot \binom{M}{p} \cdot 2^p。将所有可能的 dd 和 pp 的组合相加即得上界。此上界是宽松的，因为在实际的合法世界中，命题集 Φw\Phi_w 必须对否定封闭（pp 必须为偶数），排中律要求命题与其否定不能等价，且命题的内容应与个体域相关。

世界不可混淆性定理（World Non-Confusability）

对任意 w1,w2∈W0w_1,w_2\in\mathcal{W}_0，若存在 φ∈Φw1∩Φw2\varphi\in\Phi_{w_1}\cap\Phi_{w_2} 使得 ⊨w1(φ)≠⊨w2(φ)\models_{w_1}(\varphi)\neq\models_{w_2}(\varphi)，则 w1≠w2w_1\neq w_2。

证明：由世界的定义，一个世界的真值指派函数是唯一的。若 w1=w2w_1 = w_2，则 ⊨w1\models_{w_1} 和 ⊨w2\models_{w_2} 是同一个函数，在 Φw1∩Φw2\Phi_{w_1}\cap\Phi_{w_2} 上取值必然相同，与假设矛盾。

世界的层级

为了描述”一个世界比另一个世界拥有更多信息”这一直观想法，我们借用图论中的 DAG（有向无环图） 来描述世界之间的关系。

世界图与世界的层级关系

称二元组 G=(W0,E)G=(\mathcal{W}_0,E) 为世界图（World Graph），其中边集 E={(w,w′)∈W0×W0∣Φw⊊Φw′, 且 ⊨w′ 在 Φw 上的限制等于 ⊨w}E=\{(w,w')\in\mathcal{W}_0\times\mathcal{W}_0\mid \Phi_w \subsetneq \Phi_{w'},\ \text{且 } \models_{w'} \text{ 在 } \Phi_w \text{ 上的限制等于 } \models_w\}

该图是严格的DAG，因而诱导出偏序集 (W0,⪯)(\mathcal{W}_0,\preceq)，其中 w⪯w′  ⟺  Φw⊆Φw′ 且 ⊨w′ 在 Φw 上的限制等于 ⊨ww\preceq w'\;\Longleftrightarrow\; \Phi_w \subseteq \Phi_{w'}\ \text{且 } \models_{w'} \text{ 在 } \Phi_w \text{ 上的限制等于 } \models_w

此时称 ww 为 w′w' 的信息子世界（Information Subworld）。若 w⪯w′w \preceq w' 且 w≠w′w \neq w'，则记作 w≺w′w \prec w'。

偏序关系的三条性质：

  • 自反性：对任意 w∈W0w\in\mathcal{W}_0，有 w⪯ww\preceq w；
  • 反对称性：对任意 w1,w2∈W0w_1,w_2\in\mathcal{W}_0，若 w1⪯w2w_1\preceq w_2 且 w2⪯w1w_2\preceq w_1，则 w1=w2w_1=w_2；
  • 传递性：对任意 w1,w2,w3∈W0w_1,w_2,w_3\in\mathcal{W}_0，若 w1⪯w2w_1\preceq w_2 且 w2⪯w3w_2\preceq w_3，则 w1⪯w3w_1\preceq w_3。

定义中的边 (w,w′)(w,w') 表示 w′w' 在 ww 的基础上增加了新的命题，且对 ww 中已有命题的真值保持一致。偏序关系 ⪯\preceq 则表示层级关系。由于命题集严格递增，世界图中不存在自环，从而保证了严格关系 ≺\prec 的反自反性，并避免在该层级关系中出现循环。

世界的哈斯图

世界图 G=(W0,E)G=(\mathcal{W}_0,E) 的哈斯图（Hasse Diagram）是一个简化的有向图，去掉了所有可由传递性推导出的边。即若存在 w1,w2,w3∈W0w_1,w_2,w_3\in\mathcal{W}_0 使得 w1≺w2w_1 \prec w_2 且 w2≺w3w_2 \prec w_3，则在哈斯图中不画出边 (w1,w3)(w_1,w_3)，并省略箭头。若 w1≺w2w_1 \prec w_2，则在哈斯图中画出一条从 w1w_1 指向 w2w_2 的线段，且 w2w_2 位于 w1w_1 的上方。

极小元与层函数

良基子集的极小元存在

设 S⊆W0S\subseteq\mathcal{W}_0 为非空子集。若 SS 在关系 ≺\prec 下不存在无限严格下降链 ⋯≺w2≺w1≺w0\cdots \prec w_2 \prec w_1 \prec w_0，则 SS 中存在 ⪯\preceq-极小元。

证明：假设 SS 没有极小元。任取 w0∈Sw_0\in S，由于 w0w_0 不是极小元，存在 w1∈Sw_1\in S 使得 w1≺w0w_1\prec w_0。同理可递归构造 wn+1≺wnw_{n+1}\prec w_n，从而得到无限严格下降链，这与假设矛盾。故 SS 必有极小元。

若不加入良基条件，上述结论一般不成立。例如命题集可以形成无限真包含下降链，此时相应的世界子集可能没有极小元。因此，层级函数只在满足良基条件的世界域或分支上具有通常意义。

极小元与最小元的区别：极小元是指在某子集中没有比它更”信息更少”的世界。与最小元相比，极小元不一定唯一，且可能有多个极小元位于不同的连通分量上。遗憾的是，世界一般不存在最小元，因为世界之间的关系是偏序关系而非全序关系，任意两个世界不一定可比。

层函数的定义

在满足良基条件的工作世界域中，定义层函数 level:W0→N∪{∞}\mathrm{level}:\mathcal{W}_0\to\mathbb{N}\cup\{\infty\} 如下： level(w)={min⁡{n∈N∣∃w0⪯w1⪯⋯⪯wn=w, w0 是 W0 的极小元},如果存在这样的链∞,否则\mathrm{level}(w)= \begin{cases} \min \big\{ n \in \mathbb{N} \mid \exists w_0 \preceq w_1 \preceq \dots \preceq w_n = w,\ w_0 \text{ 是 } \mathcal{W}_0 \text{ 的极小元} \big\}, & \text{如果存在这样的链} \\ \infty, & \text{否则} \end{cases}

层函数把世界图划分成”代际”，但允许不同连通分量的世界拥有任意有限的层数或 ∞\infty。第 0 层由所有极小元组成（可能有多个，且位于不同连通分量）。

结构子世界

除了信息子世界，我们还可以定义”结构子世界（Structural Subworld）“这一更强的概念。在直观上，一个”结构子世界”应当是大世界的一部分——不仅拥有的信息更少，其个体域也应包含于大世界的个体域中，且关于这部分个体的所有真值均与大世界一致。

结构子世界的定义

设 w=(Dw,Φw,⊨w)w = (D_w, \Phi_w, \models_w) 和 w′=(Dw′,Φw′,⊨w′)w' = (D_{w'}, \Phi_{w'}, \models_{w'}) 是两个世界。称 ww 是 w′w' 的结构子世界，记作 w⊑w′w \sqsubseteq w'，当且仅当以下条件同时成立：

  1. 个体域包含：Dw⊆Dw′D_w \subseteq D_{w'}。
  2. 命题集一致性：Φw={ φ∈Φw′∣φ中出现的所有个体均属于 Dw }\Phi_w = \{\, \varphi \in \Phi_{w'} \mid \varphi\text{中出现的所有个体均属于 } D_w \,\}。
  3. 真值继承性：对任意 φ∈Φw\varphi \in \Phi_w，有 ⊨w(φ)=⊨w′(φ)\models_w(\varphi) = \models_{w'}(\varphi)。

结构子世界完全由父世界通过限制个体域而得到。若 w⊑w′w \sqsubseteq w'，则 w⪯w′w \preceq w'，即结构子世界必是信息子世界。反之不成立：信息子世界只要求命题集的包含与真值一致，但允许个体域完全不同。

神

在许多哲学与神学体系中，“神”被描述为一个全知全能的存在。基于世界与子世界的框架，我们可以对”神”这一概念进行数学建模。

神的定义

神 GG 是一个四元组： G=(wG, SG, π, ⊩G)G = (w_G, \, \mathcal{S}_G, \, \pi, \, \Vdash_G) 其中：

  1. wG∈W0w_G \in \mathcal{W}_0 是一个世界，称为神 GG 的主世界。
  2. SG={w′∈W0∣Dw′⊆DwG, Φw′={φ∈ΦwG∣φ中所有个体属于 Dw′}, ⊨w′=⊨wG∣Φw′}\mathcal{S}_G = \{ w' \in \mathcal{W}_0 \mid D_{w'} \subseteq D_{w_G},\ \Phi_{w'} = \{\varphi \in \Phi_{w_G} \mid \varphi \text{中所有个体属于 } D_{w'}\},\ \models_{w'} = \models_{w_G}|_{\Phi_{w'}} \} 是 wGw_G 的所有结构子世界的集合，称为神 GG 的掌控世界集。
  3. π:SG→P(ΦwG)\pi: \mathcal{S}_G \to \mathcal{P}(\Phi_{w_G}) 是投影函数，满足 π(w′)=Φw′\pi(w') = \Phi_{w'}。
  4. ⊩G⊆{(w′,φ)∈SG×ΦwG∣φ∈π(w′)}\Vdash_G \subseteq \{ (w', \varphi) \in \mathcal{S}_G \times \Phi_{w_G} \mid \varphi \in \pi(w') \} 是全局认知关系，满足：
    • 一致性公理：若 (w′,φ)∈⊩G(w', \varphi) \in \Vdash_G，则 ⊨w′(φ)=true\models_{w'}(\varphi) = \text{true}。
    • 全知公理：对任意 w′∈SGw' \in \mathcal{S}_G 和任意 φ∈π(w′)\varphi \in \pi(w')，有 (w′,φ)∈⊩G(w', \varphi) \in \Vdash_G 当且仅当 ⊨w′(φ)=true\models_{w'}(\varphi) = \text{true}。

这个定义的核心在于将”掌控”具体化为两种能力：

  1. 范围：神的掌控范围是其主世界的所有结构子世界 SG\mathcal{S}_G。
  2. 认知：神拥有一个全局的、无误的认知关系 ⊩G\Vdash_G，能够无误地知晓其掌控范围内任何局部的任何事实。

区分宗教意义上的”神”与世界观中的”神”是重要的。这里的”神”是一个理想化的数学构造，旨在捕捉全知全能的概念，而非特定宗教或文化中的神学定义。

基于这个定义，我们可以推导出神的一些重要性质。

神对主世界的全知

神对其主世界 wGw_G 是全知的。即，对于任意 φ∈ΦwG\varphi \in \Phi_{w_G}，有：(wG,φ)∈⊩G(w_G, \varphi) \in \Vdash_G 当且仅当 ⊨wG(φ)=true\models_{w_G} (\varphi) = \text{true}。

神对局部信息的掌控

设 w′∈SGw' \in \mathcal{S}_G 且 w′′∈{w∣w∈W0∧w⊑w′}w'' \in \{w \mid w \in \mathcal{W}_0 \land w \sqsubseteq w'\}，则 w′′∈SGw'' \in \mathcal{S}_G。进而，神 GG 对 w′′w'' 中的任意命题 φ\varphi 的认知 (w′′,φ)∈⊩G(w'', \varphi) \in \Vdash_G 与 w′w' 中对 φ\varphi 的认知 (w′,φ)∈⊩G(w', \varphi) \in \Vdash_G 是一致的（当 φ∈π(w′′)\varphi \in \pi(w'') 时），且都符合各自世界的客观真值。

证明：由子世界关系的传递性可得 w′′∈SGw'' \in \mathcal{S}_G。其认知的一致性由全知公理保证，因为 ⊨w′′(φ)\models_{w''}(\varphi) 与 ⊨w′(φ)\models_{w'}(\varphi) 在 φ∈π(w′′)\varphi \in \pi(w'') 时是一致的（根据结构子世界的定义）。

无全域神定理

基于已建立的世界层级结构与神的定义，我们可以提出一个更为根本的论断：在命题可以无限扩张的假设下，掌控所有世界的神在逻辑上是不可能的。

命题的无限扩张性公理

工作世界域 W0\mathcal{W}_0 中的命题集可以无限扩张。形式化地： ∀w∈W0,  ∃w′∈W0,  使得 Φw⊊Φw′\forall w \in \mathcal{W}_0,\; \exists w' \in \mathcal{W}_0,\; \text{使得 } \Phi_w \subsetneq \Phi_{w'} 该公理断言，不存在一个拥有”所有”命题的世界。

全域神的定义

设 G∗=(wG∗,SG∗,π,⊩G∗)G^* = (w_{G^*}, \mathcal{S}_{G^*}, \pi, \Vdash_{G^*}) 是一个神。若 SG∗=W0\mathcal{S}_{G^*} = \mathcal{W}_0，即其掌控范围包含工作世界域中的所有世界，则称 G∗G^* 为全域神（Universal God）。

无全域神定理

在 ZFC、固定工作世界域与命题的无限扩张性公理下，不存在全域神。

证明：采用反证法。

  1. 假设存在一个全域神 G∗G^*。根据定义，有 SG∗=W0\mathcal{S}_{G^*} = \mathcal{W}_0。
  2. 由于 SG∗\mathcal{S}_{G^*} 是 wG∗w_{G^*} 的所有结构子世界组成的集合，这意味着：∀w∈W0,  Dw⊆DwG∗\forall w \in \mathcal{W}_0,\; D_w \subseteq D_{w_{G^*}} 且 Φw⊆ΦwG∗\Phi_w \subseteq \Phi_{w_{G^*}}。
  3. 根据命题的无限扩张性公理，存在另一个世界 w′∈W0w' \in \mathcal{W}_0，使得 ΦwG∗⊊Φw′\Phi_{w_{G^*}} \subsetneq \Phi_{w'}。
  4. 但由第2点，由于 w′∈W0w' \in \mathcal{W}_0，必须有 Φw′⊆ΦwG∗\Phi_{w'} \subseteq \Phi_{w_{G^*}}。矛盾。
  5. 因此，全域神 G∗G^* 不存在。

此证明不关心世界的具体内容（个体、真值），仅利用了两个基本事实：全域神的存在蕴含了存在一个世界其命题集包含所有其他世界的命题集；命题的无限扩张性保证了这样的世界不可能存在。

无全域神定理并未断言”神”不存在，而是精确地证明了”全域神”这一概念的逻辑不自洽。它为我们描绘了一幅图景：神性是局部的、分层的，与特定的世界绑定。

多神论的逻辑必然性

任何具有神的掌控范围必然是局部的。即，存在多个神 G1,G2,…,GnG_1, G_2, \dots, G_n，分别对应于不同的主世界 wG1,wG2,…,wGnw_{G_1}, w_{G_2}, \dots, w_{G_n}，且满足：SGi⊊W0,⋃i=1nSGi⊆W0\mathcal{S}_{G_i} \subsetneq \mathcal{W}_0, \quad \bigcup_{i=1}^n \mathcal{S}_{G_i} \subseteq \mathcal{W}_0。从逻辑上讲，多神论（Polytheism） 是此框架下的必然推论。

角色神

在叙事作品中，作者常常塑造一些拥有近乎神明般力量的角色。它们可能在其所处的故事范围内无所不能，但作者又会通过剧情明确展示其能力的边界。

角色神的定义

角色神（Character God） 是神结构的叙事性弱化。它仍是一个四元组 G=(wG,SG,π,⊩G),G = (w_G, \mathcal{S}_G, \pi, \Vdash_G), 其中 wGw_G、SG\mathcal{S}_G、π\pi 的定义与神的定义相同，但认知关系 ⊩G\Vdash_G 不再要求满足全知公理，而只要求满足一致性公理。

若存在一个非空的限制集（Restriction Set） RG⊆ΦwGR_G \subseteq \Phi_{w_G}，使得其中每个真命题都不被角色神认知，即 ∀φ∈RG,  ⊨wG(φ)=true⇒(wG,φ)∉⊩G,\forall \varphi \in R_G,\; \models_{w_G}(\varphi)=\text{true}\Rightarrow (w_G, \varphi) \notin \Vdash_G, 则称 GG 为一个角色神。集合 RGR_G 中的命题称为该角色神的未知命题或限制命题。

角色神的定义体现了对”神性”的一种叙事性削弱：它在结构上与神相似，拥有主世界、掌控范围、投影函数和认知关系；但全知公理被削弱，存在一个明确的认知盲区 RGR_G。

角色神的性质

设 GG 是一个角色神，其限制集为 RGR_G。

  1. GG 对其主世界不是全知的：存在真命题 φ∈ΦwG\varphi \in \Phi_{w_G}，使得 ⊨wG(φ)=true\models_{w_G}(\varphi)=\text{true} 但 (wG,φ)∉⊩G(w_G, \varphi) \notin \Vdash_G。
  2. GG 的认知关系 ⊩G\Vdash_G 在其掌控范围 SG\mathcal{S}_G 上仍然是一致的（不会认知错误），但是不完全的（存在不知道的真命题）。
  3. 若 RG=ΦwGR_G = \Phi_{w_G}，则 GG 对其主世界一无所知。这是一种极端情况，可称为无知的神（Ignorant God）。
神性强度

可以用限制集的大小来粗略衡量一个角色神的”神性强度（Strength of Divinity）“：

  • 若 ∣RG∣=0|R_G| = 0，则 GG 是真正的神（God）。
  • 若 0<∣RG∣≪∣ΦwG∣0 < |R_G| \ll |\Phi_{w_G}|，则 GG 是近乎全能者（Nearly Omnipotent Being）。
  • 若 ∣RG∣≈∣ΦwG∣|R_G| \approx |\Phi_{w_G}|，则 GG 是极度受限者（Extremely Restricted Being）。
无角色神定理

全域角色神（即满足 SG=W0\mathcal{S}_G = \mathcal{W}_0 的角色神）同样不存在。

证明：假设存在一个全域角色神 G∗G^*。根据定义，有 SG∗=W0\mathcal{S}_{G^*} = \mathcal{W}_0。如无全域神定理的证明，这要求 wG∗w_{G^*} 的命题集包含所有其他世界的命题集。但根据命题的无限扩张性公理，这样的世界不可能存在。因此，全域角色神 G∗G^* 也不存在。

“角色神”概念的引入，完成了对”神性”的形式化构建。它允许在不违背无全域神定理的前提下，严谨地分析和讨论叙事作品中那些拥有巨大能力但却存在明确边界的”类神”角色。